PROPOSISI

1. KONSEP DAN NOTASI DASAR

          Berupa kalimat deklaratif yang bernilai benar (T atau true) atau salah (F atau false), tetapi tidak           keduanya.

          Contohnya:

          -       10 adalah bilangan genap.

          -       10 x 2 = 20.

          -       Hari ini adalah hari Rabu.

          -       x + y = y + x untuk setiap x dan y bilangan riil.

2. PROPOSISI DAN TABEL KEBENARAN

          A. Proposisi

               Proposisi adalah pernyataan bernilai benar(T) atau  bernilai salah(F), tetapi tidak kedua-                      duanya.

               Dalam dunia digital nilai kebenaran(T) biasa diganti dengan 1 dan nilai  kesalah diganti                      dengan 0.

               Contoh proposisi :

               10 adalah bilangan genap.

               Ibu kota jawa barat adalah Surabaya

          B. Tabel Kebenaran

               Konjungsi bernilai benar jika keduanya bernilai benar selain itu nilainya salah.

               Disjungsi bernilai salah jika keduanya bernilai salah selain itu bernilai benar.

               Negasi merupakan kebalikan dari nilai yang di inputkan.

               => Tabel Konjungsi

             

               => Tabel Disjungsi

            

               => Tabel Negasi

             

3. TAUTOLOGI DAN KONTRADIKSI

          a. TAUTOLOGI
             Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai benar.
             contoh pernyataan tautologi adalah:
             (p ʌ q) => q
             untuk membuktikan pernyataan diatas adalah tautologi, simak tabel kebenaran untuk tautologi
             (p ʌ q) => q berikut;

contoh tabel kebenaran tautologi

          contoh lain pernyataan tautologi adalah:
          a. ((p => q) ʌ (r => q)) => ((p v r) =>q
          b. (p ʌ  ~q) => p

      b. KONTRADIKSI
          Kontradiksi adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai salah.
          contoh pernyataan kontradiksi:
                    p ʌ (~p ʌ q)
          tabel kebenaran pernyataan kontradiksi  p ʌ (~p ʌ q):

Contoh tabel kebenaran kontradiksi

         contoh lain pernyataan kontradiksi adalah:

         a. (p ʌ ~p)

4. EKIVALEN LOGIKA

    EKUIVALEN 
Ekuivalen adalah dua atau lebih pernyataan majemuk  yang memiliki nilai kebenaran yang sama.
Contoh ekuivalen:
~(p v q) ≡ ~p ʌ ~q
tabel kebenaran pernyataan ekuivalen ~(p v q) ≡ ~p ʌ ~q: 

Contoh tabel kebenaran ekuivalen

Hukum-hukum ekuivalen:
a. Hukum Komutatif
    p ʌ q ≡  q ʌ p
    p v q ≡ q v p
b. Hukum Distributif
    p ʌ (q v r) ≡ (p ʌ q) v (p ʌ r)
    p v (q ʌ r) ≡ (p v q) ʌ (p v r)
c. Hukum Asosiatif
    (p ʌ q) ʌ r ≡ p ʌ (q ʌ r)
    (p v q) v r ≡  p v (q v r)
d. Hukum Identitas
    p ʌ T ≡  p
    p v F ≡  p
e. Hukum Dominasi / Ikatan

                      p v T ≡ T

                p v F ≡ F 
f.  Hukum Negasi
    p v ~p ≡  T 
    p ʌ ~p ≡ F
g. Hukum Involusi / Negasi Ganda
    ~(~p) ≡  p
h. Hukum Idempoten
    p ʌ p ≡ p
    p v p ≡ p
i.  Hukum De Morgan
    ~( p ʌ q ) ≡  ~p v ~q
    ~( p v q ) ≡ ~p ʌ ~q
j.  Hukum Absorbsi / Penyerapan
    p v (p ʌ q) ≡  p
    p ʌ (p v q) ≡ p
k. Hukum True dan False
    ~T ≡  F
    ~F ≡ T
l.  Hukum Perubahan Implikasi menjadi Disjungsi atau Konjungsi.
    p => q ≡ ~p v q 

5. ALJABAR PROPOSISI

          Setiap proposisi yang saling ekivalen dapat dipertukarkan atau diganti antara satu dengan yang           lainnya. Di bawah ini disajikan daftar aturan penggantian untuk keperluan deduksi.

          1. Hukum Idempoten (Idem)

              a. p∨q ek p

              b. p∧p ek p

          2. Hukum Asosiatif (As)

              a. (p∨q)∨r ek p∨(q∨r)

              b. (p∧q)∧r ek p∧(q∧r)

          3. Hukum  Komutatif (Kom)

              a. p∨q ek q∨p

              b. p∧q ek q∧p

          4. Hukum Distributif (Dist)

              a. p∨(q∧r) ek (p∨q)∧(p∨r)

              b. p∧(q∨r) ek (p∧q)∨(p∧r)

          5. Hukum Identitas (Id)

              a. p∨F ek p

              b. p∨T ek T

              c. p∧F ek F

              d. p∧T ek p

          6. Hukum Komplemen (Komp)

              a. p∨∼p ek T

              b. p∧∼p ek F

              c. ∼(∼p) ek p

              d. ∼T ek F

          7. Hukum Transposisi (Trans)

              p⇒q ek ∼q⇒∼p

          8. Hukum Implikasi (Imp)

              p⇒q ek ∼p∨q

          9. Hukum Ekivalensi (Eki)

              a. p⇔q ek (p⇒q)∧(q⇒p)

              b. p⇔q ek (p∧q)∨(∼q∧∼p)

        10. Hukum Eksportasi (Eksp)

              (p∧q)⇒r ek p⇒(q⇒r)

        11. Hukum De Morgan (DM)

              a. ∼(p∨q) ek ∼p∧∼q

              b. ∼(p∧q) ek ∼p∨∼q

6. IMPLIKASI LOGIK

          Implikasi logis adalah sebuah tautologi yang memuat pernyataan implikasi.

          Jika p implikasi logis q tautologi,maka p impilkasi q selalu bernilai benar untuk semua nilai p             dan q yang mungkin.

          P implikasi q digunakan apabila pernyataan p selalu mengimplikasi pernyataan q tanpa                         memperhatikan nilai dari variable-variabel penyusunnya.

          Contoh :

          Buktikan bahwa [ ( p → q ) ˄ p ] → p merupakan implikasi logis

          p q ( p → q ) [ ( p → q ) ˄ p ] [ ( p → q ) ˄ p ] → p

          B B B B B

          B S S S B

          S B B S B

          S S B S B

          ↓

          Tautologi

          Karena { [ ( p → q ) ˄ p ] } → p = B B B B = B untuk berbagai kemungkinan ( p ) dan ( q ),               maka bentuk pernyataan tersebut merupakan implikasi logis

7. FUNGSI PROPOSISI DAN HIMPUNAN KEBENARAN

          Misalkan P(x) merupakan sebuah pernyataan yang mengandung variabel x dan D adalah                     sebuah himpunan (sembarang kumpulan obyek). Kita menyebut P sebuah fungsi proposisi                   (dalam D) jika untuk setiap x di D, P(x) adalah proposisi.

          Contoh :

          Misalkan P(n) adalah pernyataan, n adalah bilangan ganjil dan D adalah himpunan bilangan                 bulat positif. Maka P adalah fungsi proposisi dengan daerah asal pembicaraan D karena untuk             setiap n di D, P(n) adalah proposisi (yakni, untuk setiap n di D, P(n) bisa bernilai benar atau                 salah tetapi tidak keduanya). Jika n=1, dapat diperoleh proposisi. 1 adalah bilangan ganjil                     bernilai benar. Jika n=2, diperoleh proposisi 2 adalah bilangan ganjil bernilai salah.

          Fungsi proposisi “x+2>7” yang didefinisikan pada N, yakni himpunan bilangan asli. Maka {x |           x Î N, x+2>7} = {6,7,8,…}adalah himpunan kebenarannya.

8. PENGUKUR JUMLAH UNIVERSAL

          Penyataan yang mengandung ukuran jumlah mengandung kata semua, setiap, beberapa, ada                 dan sebagian.

          Contoh :

          A.    Semua kucing mengeong

          B.     Tiap-tiap manusoia yang dilahirkan memeiliki seorang ibu

          C.     Setiap langit berbentuk bola

          D.    Setiap bilangan asli lebih besar dari pada nol.

9. NEGASI INGKARAN

          Adalah suatu pernyataan yang nilai kebenarannya berlawanan dengan nilai kebenaran dari                   pernyataan semula, Negasi dari P ditulis ~P atau P̅

          Sifat Negasi : Jika P benar, maka ~P salah dan P salah, maka ~P benar.

      Kesimpulan

•             Proposisi adalah pernyataan bernilai benar(T) atau  bernilai salah(F), tetapi tidak kedua-             duanya
•             Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai benar
•             Kontradiksi adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai salah
•             Ekuivalen adalah 2 atau lebih pernyataan majemuk yang memiliki nilai kebenaran yang             sama
•             Implikasi logik adalah tautologi yang memuat implikasi
•             Negasi ingkaran adalah suatu pernyataan yang nilai kebenarannya berlawanan dengan               nilai kebenaran

Daftar Pustaka

http://hyperpost.blogspot.co.id/2014/10/logika-informatika-tentang-tautologi.html

http://princesza-vietha.blogspot.co.id/2011/10/hukum-hukum-aljabar-proposisi-aturan.html

http://tiaramareta.blogspot.co.id/2011/06/implikasi-logis-dan-ekuivalensi-logis.html

http://listyramdhan.blogspot.co.id/2014_07_01_archive.html

http://hendral2c.blogspot.co.id/2014/05/logika-konsep-dan-notasi-dasar-berupa.html